河道汇流连续方程推导

现在任意取长为Δx的微小河段,图中Q(x)为河段入口处(x)处的流量,Q(x+Δx)为出口(x+Δx)处的流量,q为单位长度的侧向径流量,包括该单元净雨产生的地表径流和从其它单位汇入的壤中流。

则根据质量守恒定律,可以得到下面的推导:
这就是著名的圣维南方程组的中的连续方程。该式表示河道非恒定流中,流量沿程的变化率与过水断面随时间变化率之和等于单位长度的侧向汇流流量。
在明渠恒定流时,由于水面的坡度不断随时间变化,故断面上的水文-流量关系成单值关系,即一个水位对应一个固定的流量。而对于非恒定流,则同一水位下明渠断面上的水文与流量之间呈多值关系。例如,涨水过程中,一般总是上游先涨水,同一水位下非恒定流的水面坡度比很定流时大,因而流量也大,同时落水过程中,一般总是上游先退水,在同一水位下的非恒定流的水面坡度比恒定流时小,因而流量也小。也就是说,下面的关系不是稳定的。
因此我们联立下面的方程求解时,应该将a与m当成变量

 

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